回到宿舍的陈舟,把背包仍在椅子上,伸手翻开了一页草稿纸。
草稿纸上,所写的内容,如果那位诺特学姐在的话,一定惊呼出声。
因为,这也草稿纸的内容,就是关于“伽罗瓦群的阿廷l函数的线性表示”的研究内容。
这也是陈舟在阿廷教授说要给他布置子课题进行研究时,略显迟疑的原因。
相比于阿廷教授的子课题,对“伽罗瓦群的阿廷l函数的线性表示”进行研究,会更有趣。
“这个诺特学姐,倒真会找课题……”
“或许,这就是巧合吧?”
陈舟拿起这张草稿纸,前后看了一遍,无奈的摇了摇头。
要不是课题撞车,陈舟或许还会多考虑一下。
可自己感兴趣的课题,居然还被人邀请一起研究。
那陈舟就只有拒绝了。
倒不是陈舟觉得合作不好,只是他现在更喜欢独立的进行研究。
尤其是这种感兴趣的课题。
除非是杨依依和自己一起研究,其他人,陈舟都会不习惯。
至于这个课题,要是被诺特和她的导师捷足先登了。
那陈舟也不会在意,相反,还会去恭喜这位诺特学姐。
毕竟数学研究这种事,没有什么是一定的。
轻轻放下这张草稿纸,陈舟把背包拿开,坐在椅子上。
然后找到一张新的草稿纸,拿起笔,开始梳理这个课题所牵涉的研究内容。
当然,这个课题的优先级是远远低于哥猜的研究和胶球实验课题的。
也许等到哥猜解决后,陈舟才会把它的优先级提起来。
诚如诺特所言,这里面的一系列问题,简直太令人神往了。
【对于每一个一元多项式,我们可以定义l函数,它们通常叫做戴德金ζ函数……】
这段话写完后,陈舟拿笔把戴德金ζ函数画了个圈,习惯性拿笔在旁边点了几下。
然后,在这个圈的旁边,写下了黎曼ζ函数。
黎曼ζ函数是一元一次多项式的特殊情况。
不过,戴德金ζ函数和黎曼ζ函数一样,可以用初等证明的方法,证明其满足这一函数的前两个条件。
想到这,陈舟的思维扩散开来。
戴德金ζ函数一个自然的推广,是考虑多元多项式的情况。
而这里,就进入了代数几何的领域。
多元多项式的零点,定义了一个几何对象,也就是代数簇。
对代数簇的研究,便被称之为代数几何。
说起来,代数几何虽然是一门古老的学科,但它也是在20世纪,才经历了一次蔚为壮观的发展。
20世纪初期,意大利学派对代数曲面的研究,有了长足的进展。
然而,其不严谨的基础,促使奥斯卡·扎里斯基和安德烈·韦伊重构了整个代数几何的基础。
韦伊更是指出了代数几何和数论与拓扑之间的惊人联系。
在之后,被誉为代数几何皇帝的格罗滕迪克,为了理解韦伊的猜想,更进一步用更抽象本质的方法,重新构建了代数几何的基础,并引进了一系列强大的工具。
特别是他的上同调理论,最终促使他的学生,也就是陈舟的三位审稿人之一的德利涅教授,完整的证明了韦伊猜想。
并因此,获得了菲尔兹奖。
事实上,格罗滕迪克的上同调理论,根植于代数拓扑。
而且,格罗滕迪克同时构造了一系列上同调理论,它们具有非常类似的性质。
但却起源于非常不同的构造。
格罗滕迪克试图寻找出它们的共同本质,并由此提出了motive理论。
这一理论并不完整,因为它基于一系列的猜想。
motive理论也被格罗滕迪克称之为标准猜想。
如果标准猜想被证明,那也就得到了完整的motive理论。
它导出了所有上同调,同时能证明一系列表面无关的问题。
举个例子,七大千禧难题之一的霍奇猜想的重要性,就在于它能导出标准猜想。
不得不说,标准猜想的证明,大概算是代数几何里最要紧的事了。
但是,标准猜想的证明难度,却又是顶级的。
真要比一下的话,从陈舟的角度来看,标准猜想的难度,得比哥猜高一个等级。
收回思绪,陈舟回到眼前的草稿纸上,拿起笔,开始写到:
【关于motivicl函数和自守l函数,每一个motivicl函数,都是由motivic给出的。
对于这些函数,很容易验证其满足黎曼ζ函数的第一个条件,但是第二个条件,还无法证明一般的情况。
一个已知例子是,有理数上椭圆曲线的情形,也就是费马大定理的证明的一个推论。】
陈舟记得在文献上看到过,这个谷山-志村猜想的完整情形,是在2001年,由怀尔斯教授的几位学生证明。
不得不说,怀尔斯教授的学生在面对费马大定理的推论时,都有buff加成。
陈舟在谷山-志村猜想旁边,做了个标记,便继续写到:
【对于几乎所有l函数,第三个条件,也就是黎曼假设,都是未知的。
唯一的例外是motive在有限域的情形,此时l函数满足黎曼假设的条件,正是韦伊猜想。】
陈舟又在韦伊猜想旁边,写下了“德利涅”三个字。
虽然看似这里面的问题,被解决了不少。
但实际上,尚未解决的问题,才是真正的庞大。
对于对于motivicl函数的特殊值的问题,现在普遍的研究认为,需要motive的一个推广。
这是一个更加庞大,也更加遥远的梦想。
数学家们把它称为mixedmotive。
它的存在能够推导出一系列及其漂亮的等式,推广欧拉对于黎曼ζ的公式。
著名的贝林森猜想,七大千禧难题之一的bsd猜想等,都属于可以被推导之列。
从某种程度来说,mixedmotive可以和标准猜想相媲美,甚至于超过了标准猜想。
因为目前的数学界,还不知道如何去构造它罢了。
当然,目前的数学界虽然无法构造mixedmotive,却能够构造它的一个弱化变形,也就是导出范畴。
俄罗斯数学家弗拉基米尔·沃埃沃德斯基,就是因为给出了这样一个构造,从而获得了2002年的菲尔兹奖。
想到这,陈舟的内心憧憬无比,这要是解决了标准猜想,再构造出mixedmotive理论。
那自己能拿多少个菲尔兹奖?
自己怕不是会成为第一个拿奖,拿到亿万富翁的数学家?
但很快,陈舟就清醒了。
都没到晚上睡觉呢,还是先不做梦了。
老老实实,脚踏实地的,一步一步做好自己的研究,才是最主要的。
不再多想的陈舟,继续在草稿纸上梳理这个课题所牵涉的研究内容。
【每一个motive都能给出一系列伽罗瓦群的表示以及复几何中的霍奇结构,它们完全决定了l函数,因而考虑它们是更根本的问题……】
事实上,motive是比l函数更本质的存在,但是很难直接计算它。
替代的办法是考虑motive的不同表达。
从已有的例子来看,类域论已经解决了交换伽罗瓦群的情形。
也就是说,一个简单,但却根本的想法,是群的表示比群本身更加基本。
因而需要考虑的不是伽罗瓦群本身,而是它的表示。
这样所有的交换伽罗瓦群,就等价于一维的伽罗瓦表示,而非交换的就等价于高维的表示。
想到这,陈舟微微皱眉,他把电脑打开,开始查找文献资料。
按照这个思路来看的话,就必须必须考虑它们的内在对称性。
可令人惊讶得是,这些对称性很大程度上来源于一类完全不同的数学对象,也就是自守形式。
自守形式的起源可以追溯到19世纪,数学大神庞加莱是这一方向的先驱者。
陈舟手速飞快的在电脑上,输入想要查找的内容。
再一一把文献下载下来。
原本打算回来待一会,就去吃饭的陈舟,就这样,不知不觉的陷入了数学的世界之中。
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