陈舟明显愣了一下。
这是一上来,就考自己吗?
从几何角度研究非交换环?
真要说起来,对于非交换环,陈舟还是有些看法的。
非交换环的一个最常见的例子,或许就是矩阵了。
利用矩阵可以得到一批非交换环的反例。
就好像,若s是包含在环r内的相应维数为无穷的域。
那么a=re_11+re_12+se_22,是左noether与左artin的。
但不是右noerther与右artin,这说明了链条件在非交换环中有左与右的差别。
在除环上的所有矩阵的有限直积,构成了所谓的半单环类。
这就是通常所说的wedderburn-artin定理。
这也是非交换环中第一个精彩的结构定理。
更加有趣的是,它通过矩阵的对称结构,自然说明了左半单环等价于右半单环。
在交换环中,最常见的两个根分别是jacobson根与幂零根。
前者简称为大根,它是所有极大理想的交。
后者简称为素根或小根,它是所有素理想的交。
而在非交换的情形中,一个根就可能分化为三个根,满足某类条件左、右理想以及理想的交。
事实上,非交换环r,所有极大左理想的交,恰恰就是所有极大右理想的交。
并且它们良好的继承了相应的可逆性质。
因此就称其为非交换环的jacobson根,也记作rad。
尽管非交换环中有左与右的区别,但也不乏此类殊途同归的有趣现象。
而在交换代数中,由于局部化技术的广泛使用,局部环成为了一个研究的焦点。
但非交换环的局部环技术,似乎受到了限制。
反倒是特别在乎半局部环。
值得注意的是,非交换环中对半局部环的定义,并非是指它只有有限个极大左理想。
而是定义为r/rad是半单环或者是artin环。
事实上,半局部环r的各理想均包含rad,可以化归为artin环r/rad中的极大理想,因此至多只有有限多个。
但对于左理想的情形,就必须补充条件“r/rad可交换”。
否则可以考虑域上的矩阵代数,它是半局部的,却可能有无穷多个极大左理想。
至于从几何角度研究非交换环,也就是所谓的从局部方面,研究交换代数的方法。
主要讨论代数簇中的奇异点,以及代数簇在奇异点周围的性质。
但这主要针对的是交换环,而不是非交换环……
陈舟的脑海里飞速的闪过关于非交换环的内容。
可是,自己这只是半吊子的理解,并没有深入研究过。
面对第一次见面的导师,还是这样的一位大佬。
自己还能怎么看?
与其班门弄斧,说着一些浅显的理解。
还不如老老实实的说,自己没啥看法。
在这样的数学大佬面前,不懂装懂,或者故意卖弄。
才是真正愚蠢的事情。
阿廷教授见陈舟一直沉默着,没有说话。
便又笑着问了一句:“怎么了?有什么想法,可以尽管说出来。”
陈舟看了阿廷教授一眼,最终老实说道:“教授,对于从几何角度研究非交换环,我没有什么看法。”
听到陈舟的话,阿廷教授愣了一下,但也随即释然。
反而陈舟这种不信口开河的做法,给他留下了不错的印象。
轻声笑了笑,阿廷教授说道:“也对,你主要在研究解析数论。或许我应该问你,对于数论研究的看法?”
陈舟闻言,也是笑了笑。
看来阿廷教授,还是蛮好沟通的嘛。
阿廷教授看了看陈舟,又说道:“刚才那个问题,就是我当前的研究内容。”
“你也知道,我主要的研究领域,是在代数几何。对于数论的话,或许我的父亲更有研究……”
阿廷教授说到这的时候,眼神中明显多了一丝回忆的味道。
他也没避讳这些,而是笑着说道:“年龄大了,总是忍不住怀念过去。”
陈舟善意的笑了笑,表示理解。
随即阿廷教授继续说道:“所以,你入学之后,可以加入和我一起研究代数几何,也可以自己钻研数论的问题。”
“对此,我是不设限制的。当然,作为你的导师,有什么问题,你可以尽管来找我。我会尽力为你解答。”
对于阿廷教授的话,陈舟还是有一些预料的。
毕竟,以他现在在解析数论领域,所作出的成绩,没有哪位导师可以忽视。
更不要说,强迫着他改变研究方向了。
人的时间是有限的,人的精力是有限的。
如何在有限的时间,充分发挥有限的精力,才是最重要的。
对此,陈舟自然也有自己的想法。
所以,他回道:“阿廷教授,感谢您的理解,以及坦诚。”
阿廷教授:“所以,你打算?”
陈舟:“我想跟着您一边学习代数几何的内容,另一边,也不丢掉解析数论的研究。”
陈舟选择了最贪的选择。
也就是两手抓,两手都要要。
阿廷教授先是愣了一下,但很快反应过来。
他明白了陈舟的意思。
而且他也没有觉得这样有什么错。
至少,陈舟知道自己要什么,有他自己的计划。
这比那些以往他带过的博士生要好的多。
他们只知道完成自己布置的任务。
于是,阿廷说道:“时间上,我就不对你做限制了。我相信作为一位出色的年轻数学家,你可以安排好自己的时间。”
“但是,你得先回去好好思考一下,如何从几何角度研究非交换环。”
顿了顿,阿廷又笑着补充道:“另外,你的毕业论文,应该也不用我操心吧?”
陈舟闻言,顿时笑道:“教授,您放心。”
从阿廷教授的办公室离开时,陈舟是带着一沓厚厚的打印纸离开的。
所打印的内容,也全是关于阿廷教授的课题研究资料。
陈舟抬手看了眼手表,早上10点了。
这会再去弗里德曼教授那,应该还来得及。
就是不知道,这位诺贝尔物理学奖得主,杰尔姆弗里德曼教授会给自己安排什么样的内容了。
对于物理学的学习和研究,陈舟更多的还是倾向于跟着导师进行。
陈舟拿出新手手册,翻到地图那页,寻找了一番。
便锁定弗里德曼教授的办公室。
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