大年初一,陈舟就在这种高效的做题中度过了。
精神药剂还剩下4罐半。
大年初二,陈舟需要去姥姥姥爷家拜年。
只不过,在收完红包,吃了午饭,再陪姥姥姥爷聊了会天后,陈舟便自己先回家了。
把有些杂乱的课桌简单收拾了一下,陈舟想了想,这两天好像没有再出门的需要了。
那么,此时是最适合的时间。
陈舟便把那剩余的半罐精神药剂全喝了。
然后,他开始搜索拉格朗日中值定理的更多知识,准备搞清这个定理的来龙去脉。
先从证明方法开始看。
“用辅助函数的方式可以证明拉格朗日中值定理:
已知f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导;
那么,构造辅助函数g(x)=f(x)-f(a)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a);
可以得到,g(a)=g(b);
又因为g(x)在[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导;
所以,根据罗尔中值定理可得,必有一点ε∈(a,b),使得g‘(ε)=0;
由此可得g‘(ε)=f‘(ε))-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0;
变形得f(b)-f(a)=f‘(ε)(b-a);
定理证毕。”
这个过程很简单,陈舟看懂了,可为什么要构造这么一个辅助函数,还有罗尔中值定理是什么,他却一头雾水。
陈舟想了想,立即搜索了罗尔定理的相关概念。
“罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理,是三大微分中值定理之一,其他两个分别为:拉格朗日中值定理、柯西中值定理”
“原来这家伙也属于微分学的”
陈舟继续看着罗尔中值定理的描述,以及证明过程。
这个,越看越头大,陈舟发现自己怎么什么都不懂,什么都不会,看到一个新的定理或者引理就是一个全新的知识。
果然十二年基础教育是真基础
陈舟升起一股欲望,他强烈的想要搞懂这些定理知识。
他的求知欲被打开了,而不再是一味的为了高考而去学习。
此时,陈舟觉得这个隐藏任务似乎变得有趣了起来。
他不单单只关注任务提到的拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
他开始从微分中值定理这个引起他极大兴趣的分支开始,从罗尔中值定理入手。
把证明过程,几何意义,几种特殊情况,全部了解了一遍。
对于其中提到的费马引理、极限存在定理,这些看不懂的,他先放在里一边,只单纯的看这个罗尔中值定理。
一下午的时间是肯定不够的,陈舟在草草解决了晚饭后,又开始继续沉迷。
为了不使这种求知欲断裂,陈舟拿出一罐新的精神药剂,一饮而尽。
像这样一口干,也只有在开学前,这个最适合的时间,他才敢这么干。
这可不是闹着玩的,修仙需要正确的姿势,正确的时间,正确的地点。
不得不说,在精神药剂这种强力上头的辅助之下,他一晚上从罗尔中值定理,到已经熟悉的拉格朗日中值定理,再到任务提到的唯二的柯西中值定理,再再到没听过的泰勒公式、达布定理、洛必达法则,他居然全刷了一遍。
有些是看懂了,学到了,有些是混个半知半解,再不济,混个脸熟。
陈舟也终于明白,为什么隐藏任务要把拉格朗日中值定理和柯西中值定理挑出来说了。
不仅仅是因为它们在高考中的应用性比较广,更重要的是拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,它是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值。
而拉格朗日中值定理也正是柯西中值定理的特殊情形。
直到早上天亮,陈舟被陈建国喊出去吃早饭,他才从知识大洋里短暂脱离。
陈建国看着他两个深沉的眼袋,有些疑惑:“小舟,你昨晚没睡好?”
陈舟后知后觉的回道:“嗯,是没睡好”
吃完饭,陈舟赶紧回屋继续。
虽然药剂的劲头还没过,但陈舟怕自己犯困,于是又干了一罐。
大年初三,一整天的时间,陈舟除了出屋子吃饭,他就没迈出过房间半步。
对于一些生理需要,他都是在吃饭那段时间里顺带解决的。
又是一夜未眠,陈舟深深的陷入这种对知识的渴望中。
饭前上厕所洗手时,他发现镜子中的自己,好像除了黑眼圈加重了一些,眼袋变大了一些,也没什么感觉。
至于精神如何,无比充沛!
那就继续吧
大年初四,早饭吃完后,又是一罐精神药剂下了肚。
陈舟现在满脑子都是这些微分中值定理,定理求极限,有限增量公式的θ,不等式,函数,导数等等这些难懂的东西。
大年初五,陈舟看着仅剩的最后一罐药剂,他有些犹豫:“会不会猝死啊?这样为了一个隐藏任务,真的值得吗?”
想了想,陈舟算了一下先前药剂叠加还剩的时间,似乎也不多了。
如果不能在寒假攻克这个隐藏任务,陈舟觉得仅有的三个月时间,估计也不太可能完成了。
随着新学期的开始,肯定会被狂轰乱炸一番,能分给隐藏任务的时间,会越来越少。
又看了一眼草稿纸上的公式,他猜测拉格朗日、柯西、罗尔他们能搞出来这些玩意,肯定花了不少功夫,说不定也修仙了。
想到这,陈舟不再犹豫,他仰头干了这最后一罐。
这次修仙能不能成,就看最后一波了。
手中的笔几乎一刻不停的在草稿纸上把自己的思路记录下来,再去和这些定理对应着,验证自己的想法。
把每一个证明过程全部吃透,把每一个应用例子,烂熟于心。
再回过头来,去把这些定理的内在联系,梳理一遍。
“拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)”
冬天的白天很短,黑夜很长。
可对陈舟来说,是没有白天黑夜的,他只觉得一天时间,过得太快。
他甚至觉得才刚吃过早饭,怎么又吃早饭了?
又鏖战了一夜,大年初六的早晨7点,陈舟吃完早饭,继续回到屋里坐下。
他整理了一下这些天写出来的草稿纸。
陈舟已经把这些微分中值定理,都学的差不多了。
甚至于,高等数学的知识,他都了解了不少。
可他很奇怪,为什么系统还没判定他完成隐藏任务。
在收拾的时候,陈舟又看了第一天写的拉格朗日中值定理的证明过程,不禁微微一笑。
这里面的逻辑顺序,他现在已经全弄明白了。
是因为证明拉格朗日中值定理的时候需要应用罗尔中值定理,所以需要构造函数来满足罗尔中值定理的条件,构造的函数并不是唯一的,只要能满足罗尔定理的条件就可以。
想到这,陈舟拿起笔,开始试着新构造一个函数,来证明拉格朗日中值定理。
“令F(x)=f(x)-[f(b)-f(a)]x/(b-a),因为函数”
“所以F(x)在”
“又F(a)=f(a)-[f(b)-f(a)]a/(b-a)”
“则F(a)=F(b),从而F(x)满足罗尔定理的三个条件”
“因此,得证。”
陈舟写完的一瞬间,脑海中响起了系统的声音。
“恭喜宿主!完成”
后面的话,陈舟都没听到了,精神药剂的劲头过了,他身子一歪,倒在床上,睡着了。
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