应该说,微分和积分为什么互为逆运算,而且为什么通过反求导就能求出区域面积,这大概是在学习微积分的时候,很多人最难理解的一个点。
甚至曾经在很早之前,大家都把微分和积分看作是两个互不关联,毫不相关的东西去看待,直到后面出现了牛顿和莱布尼茨。
考虑到证明的过程是很难直观去理解的,所以李纵才举了这么一个或许并不太严谨,但却意外好懂的例子,把求积分的图,当成是瞬间速度变化的图。
然后求从a到b时间之内,到底走过了多少路程,这是不是就是反求导之后,用大写的F代表原函数,黄色区域的面积就等于F(b)-F(a)。
这正是计算积分十分重要的一个公式,将连续的需要求和的一条条铅垂线的过程,转变成了只需要代入边界的值,一减就能求出面积。
见两人还在犹豫,李纵也是把路程等于速度乘以时间,面积等于底边乘以高,两者都是乘法的这么一个过程写了出来,道:“其实我们不必纠结于为什么路程可以看成是面积。”
“我们只需要知道他们都同样是乘法运算,而且,都是函数关于一滴滴的单位之内,会得到某个值就行了。”
“而且,如果反过来理解,求积分的这个图,用微分去表述,就可以是,在一滴滴的时间之内,面积的变化率。”
见两人还在沉思,李纵便继续道:“那么,假设这种想法是对的,我们已经得知,这两种运算存在着一种互逆的关系,那么,我们可以怎么使用这种关系?”
“是不是就可以求积分了,积分原本是要把很多很多的铅垂线的面积加起来,正常来说,我们人是办不到的,但是如果能把它转换为微分时的原函数,积分是不是就可以计算了。”
“直接代入两个边界的点,一减,答案不就出来了。b点的里程,比如说15里,减去a点的里程,比如说10里,一减,中间的5里,就是我们走过的路程。”
“那么问题来了!这个积分的函数,跟它微分时的原函数,到底存在着一种什么样的关系。”
“或者说,我现在已经知道了积分的函数了,就是等于y=2x,那么,微分时的原函数,是什么?所以是不是就是一次从微分的结果,反推微分的开头的这么一个过程。”
“那接下来我们便尝试着拿一个例子,来求一次微分。”
“比如说原函数y=x,根据刚刚微分的定义,是不是就可以有以下这个式子:”
图。
“此式子怎么理解,刚刚我们是用t-a的方式,但这样显然是算不出来的,所以我们把t换成x+Δx,代表t比a多了那么一滴滴增量,但是这个增量又是无限小,我们定义无限小不等于0,但是它无限趋近于0。”
“接下来便可以对式子进行运算。”
图。
“正如同前面我们说让t就是等于a,那么很短很短的时间,也就没有争议。这个的Δx,我们把他视为是没有增量,那么这条式子最后,微分出来,等于2x也就没有争议了。”
“当然,前提是,我们定义了无限小,是趋向于0。”
“这正好就是微分的结果跟原函数。”
“接下来,我们可以代入一些数字来测试一下。”
“首先明确,y=x是路程关于时间的函数,y=2x是路程变化率,也就是速度关于时间的函数。”
“现在我要求y=2x在某一段时间内走过的路程,即这个函数在给定边界范围的面积。”
“就可以变成求出原函数,然后代入边界,最后y=1=1。”
“而反应在y=2x的这个与x、y边界所围成的面积,是不是也是,按照三角形的面积公式,底是1,高是2,1×2÷2=1,也等于1。”
“再代入别的数字,x=2,原函数答案是4,y=2x围成的面积是,2×4÷2=4,也等于4。”
“下面的以此类推,答案完全一样。”
“甚至就是算梯形的面积,其实也是一样的。”
李纵用一个很巧合的例子,来说明在给定边界后,的确可以通过原函数的式子来算出图形的面积。并且计算出来的面积是完全吻合的,这恰恰印证了前面李纵的假设。
虽说这只是个例,但是,此法足以让两人耳目一新。
三角形的面积原来还能这么算,这谁能想到!
然后李纵便道:“其实还有更为严格的证明过程,只是便于你们好理解,我也就拿这个作为例子。”
“假设这就是对的!”
“那么,以前我们是不是写了一条关于圆的方程的式子,是不是也有xy,而且当时我们还算出了边界,如果我没有记错的话,是b点的坐标是四分之一。”
“要是我们也能知道那条圆的方程的式子的原函数,是不是就能够通过直接代入四分之一,当然,起点是0,所以不用算,去算那个小区域S(ABD)的面积。”
两人听完,简直觉得李纵就是鬼才!
这都能让李纵想到!
但是……
接下来,等李纵把圆的方程式子写下来后,这个要怎么求原函数,却是把所有人都难倒了。
“这个式子,要怎么求原函数。”
“方才,我们是瞎猫碰上死耗子,正好通过微分,算出来是2x,那么接下来什么原函数的微分等于(x-x),再开根号。”
张公绰两人立刻都傻眼了。
甚至,看完了这条式子,前面什么微分、积分好像都忘了,这就是所谓的,你看完,你觉得你自己懂了,其实,你什么都不懂。(图)
“这的确是一条相当复杂的式子,而且微分的过程虽说我们从头到尾都是知道的,但是我们却又不可能从后面往前推。”
“尤其还是这种又有减法,甚至还有开平方的式子。”
“这怎么办?”
“我们化简一下。”
“这就是结果。”
“然后我们先不管前面的x的二分之一方,我们就看后面的这个,(1-x)的二分之一方,是不是就跟我们之前提到的,那个f(m)的公式长得很像。”
“那我们是不是就可以把这个式子,按照f(m)的式子来展开。”
“最后得到。”
“我们再对这个式子求原函数。”
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